让弛豫过程显现 双峰示例
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阻抗重构
NYQUIST−Z″ / Ω · 横纵轴等比例
Bode · 幅值与相位
弛豫时间分布
DRTγ(ln τ) / Ω · 时间常数的对数坐标
拟合残差
(Zfit − Z) / Ω · 频率的对数坐标
导纳重构 · DCT 拟合域
Y = 1/Z · Y′、Y″ / S · 圆点：输入；曲线：重构
导纳残差 · DCT 目标函数
(Yfit − Y) / S · 频率的对数坐标
显示与图片导出
移动指针查看分布数值；显示操作不会重新计算。
用户区间积分与峰宽
GCV 评分与选参诊断
1 · 候选电路比较
| 排序 | 候选电路 | 相对 Z 误差 / % | 拟合参数 / k | AICc | ΔAICc | BIC | 数值状态 | 辨识与适用性 | 查看 |
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评分假设与本次尝试
2 · 单模型拟合与诊断
查看候选可直接载入已计算的参数与诊断；也可选择已知电路自行拟合，无需先运行候选比较。与相同输入的 DRT / DCT 重构并列比较。
电路连接示意图
“+” 表示串联，“∥” 表示并联。CPE：Y=Q(jω)^α；W 为半无限扩散，Ws / Wo 为有限扩散的短路 / 开路边界。
| 参数 / 单位 | 初值 | 下限 | 上限 | 固定 |
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| 参数 | 拟合值 | 单位 | 约束状态 | 解读状态 |
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低残差或数值收敛不能单独确定电路机理；参数相关、边界和多解需要结合实验判断。本模块不提供参数置信区间。
参数辨识提示
模型适用性筛查
符号与残差结构筛查用于提示模型限制；未指定测量噪声时，不构成统计拒绝或物理验证。
电路时间尺度
| 过程 | 定义 | τ / s | 测量尺度参考 | 与 DRT 峰的关系 |
|---|
独立 RC / RQ 支路可比较弛豫中心；耦合 Randles 名义时间、扩散时间和串联交叉时间不等于独立 DRT 峰。窗内或低误差均不能证明对应关系。
相同输入 · 阻抗域比较
| 方法 | 拟合域 / 设置 | Z RMSE / Ω | 相对 Z 误差 / % |
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表中统一按原始阻抗计算误差。DRT、DCT 与电路拟合使用不同目标和约束，不直接比较目标函数数值。先计算需要比较的 DRT / DCT，结果会保留并自动叠加。
Nyquist · 横纵轴等比例
−Im(Z) / Ω · Re(Z) / Ω
阻抗残差 · f / Hz
拟合−输入 / Ω · 实线：实部；虚线：物理虚部
Bode · 幅值
log₁₀(|Z| / Ω) · f / Hz
Bode · 相位
arg(Z) / ° · f / Hz
求解诊断与本次尝试
条件贝叶斯可信区间 · 试用
采样诊断与固定条件
多谱项目与比较
最多 20 条谱；每条谱使用全部导入频点和自身求解网格。叠加图保留原曲线点，差值图使用原曲线联合节点。
每谱沿用左侧运行预算；取消、超时或失败会保留最近一次成功结果与其原参数，状态区分本次尝试与上次结果。原始文本、单位、掩码、参数、实际 λ 和诊断随项目保存。
| 显示 | 谱名 / 颜色 | 频点 | 状态 | 实际 λ | 操作 |
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热图颜色表示分箱内的平均 γ，单位随比较模型显示（原曲线按 ln τ 积分／实际覆盖宽度）；无覆盖为灰色，部分覆盖加斜线。谱顺序是项目顺序。区间比较使用上方用户区间及各谱原导出曲线的 ln τ 梯形积分。
| 谱名 | Rs / Ω | 全域 Rp / Ω | 用户区间积分 / Ω | 实际 τ 区间 / s | 实际 λ | 选参状态 |
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独立 Lin-KK · 数据一致性检查
独立的有符号 RC 回归，按逐点 |Z| 归一化；与非负 DRT 分开计算。μ 阈值只决定模型规模，有限频率窗口中的残差不独立证明线性、稳定性或全部物理假设。
尚未运行。
(输入 − 拟合)/|Z| · f / Hz · 青实部 / 橙虚部
μ 随 M 变化 · 橙虚线为阈值
有符号系数、M 历史与数值诊断
严格精度复算
固定本次实际 λ、数据、网格和权重，单独复算并比较分布、面积、目标及残差。主结果保留；求解精度改善不能消除参数敏感性或确认物理峰。
请先计算当前谱。
γ 对 ln τ 的密度 · 橙：原结果；青：严格复算 · 单位随当前 DRT / DCT 模型显示
精度、目标及两域残差
DCT 窗口敏感性
固定当前已计算 DCT 的 λ、τ 下限、ln τ 间隔和全部频点，仅通过增加节点扩展长时窗口。当前窗口与目标 ×10、×100 分别比较；实际边界按完整网格间隔对齐，超过 161 节点的扩展明确跳过。主结果和当前设置保留；此诊断与严格精度复算分开。
请先计算有效 DCT 结果。
γ / S · τ / s · 橙：当前窗口；青：扩展 ×10；蓝：扩展 ×100 · 端点不补零，区间外分布未知
有效窗口、共同区间与运行记录
BHT · 分布与阻抗一致性
实部与虚部分别进行有符号 Bayesian Hilbert 回归。BHT 结果独立显示，保留主 DRT／DCT；切换 DCT 时仍分析原始阻抗。条件区间不包含全部模型和实验不确定度。
尚未运行。
BHT 分布 · γ(ln τ) / Ω
τ / s · 两条有符号后验均值；不施加非负约束。
阻抗预测 · f / Hz
Re(Z) / Ω · 由虚部交叉预测
−Im(Z) / Ω · 由实部交叉预测
六类质量评分 / %
| 评分 | Re / % | Im / % |
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超参数与数值诊断详情
联合贝叶斯重构
尚未运行联合重构。
联合阻抗重构 · f / Hz
Re(Z) / Ω
−Im(Z) / Ω
共享有符号分布 · γ(ln τ) / Ω
超参数、条件假设与运行记录
算法与结果说明
使用 Gaussian 径向基函数和非负约束，同时拟合阻抗实部与虚部。通过最小化 ‖Ax − b‖₂² + λ cᵀM c 平衡拟合误差与曲线平滑程度；γ 为 ln τ 的密度，单位 Ω。
初始设置与 pyDRTtools 界面一致：一阶正则化、FWHM 系数 0.5、手动 λ = 0.001、不拟合串联电感。基函数中心为 τ = 1/f，阻抗核使用 ω = 2πf。
GCV 在 10⁻⁷–1 内自动选取 λ，再进行非负拟合。评分平坦、搜索边界和数值可靠性会分别提示；候选值不等于已确认的最优值。λ 越大，曲线通常越平滑。
Rp 是整个 ln τ 轴上的模型积分；图和 CSV 仅覆盖有限区间。结果同时给出窗口积分与区间外面积比例，便于核对导出曲线。
输入统一换算为 Hz、Ω。较多频点的 GCV 会增加耗时，可调整运行预算或取消计算。Lin-KK 独立检查有限频率窗口内的数据一致性，需结合实验条件判断。
DCT 初始窗口跟随输入频率，以 1/(2πf) 两端各拓展一数量级，再向外取整到完整数量级；每数量级 10 个间隔。扩展区间不代表新增测量信息；保存结果沿用原参数，编辑范围或节点后使用手动窗口。
DCT（电容时间分布）以 Y = 1/Z 为拟合对象，使用对数网格梯形离散和二阶差分平滑惩罚，联合非负拟合 Gb、C0 与分布系数。仅支持手动 λ。
分布 γ 和 ∫γ d ln τ 的单位为 S；面积表示分布电导，不是总电容或 Rp。C0 单位为 F。曲线和区间积分限于指定的 τ 网格，不使用 Gaussian 尾部外推。
导纳等权拟合与阻抗等权拟合的权重含义不同。界面同时显示导纳拟合和 1/Yfit 的阻抗重构；DCT 峰位不应与 DRT 峰位直接等同。
当前为标准正则化 DCT 回归，未包含双神经网络训练。模型假定非负分布和容性导纳，不会删除感性数据点；模型不匹配会在结果中提示。
条件贝叶斯联合采样非负分布与启用的基线参数，固定实际 λ、噪声、模型和网格。95% 逐点区间不包含选参和模型不确定性；采样诊断达标不代表物理覆盖率已校准。
推荐引用
如果本工具对您的研究有帮助，欢迎在论文或报告中引用以下工作：
- Wang, Z., Wang, Y., Py, B., Maradesa, A., Liu, J., Wan, T. H., Saccoccio, M., & Ciucci, F. (2025). DRTtools: Freely Accessible Distribution of Relaxation Times Analysis for Electrochemical Impedance Spectroscopy. ACS Electrochemistry, 1, 12, 2680–2689.
- Wan, T. H., Saccoccio, M., Chen, C., & Ciucci, F. (2015). Influence of the discretization methods on the distribution of relaxation times deconvolution: implementing radial basis functions with DRTtools. Electrochimica Acta, 184, 483–499.
- Py, B., Maradesa, A., & Ciucci, F. (2024). From theory to practice: Unlocking the distribution of capacitive times in electrochemical impedance spectroscopy. Electrochimica Acta, 479, 143741.
- Liu, J., Wan, T. H., & Ciucci, F. (2020). A Bayesian view on the Hilbert transform and the Kramers-Kronig transform of electrochemical impedance data: Probabilistic estimates and quality scores. Electrochimica Acta, 357, 136864.
- Pakman, A., & Paninski, L. Exact Hamiltonian Monte Carlo for Truncated Multivariate Gaussians. arXiv:1208.4118.